푸아송 분포

개요

푸아송 분포는 임의 사건이 발생하는 횟수를 모델링하는 1-모수 곡선족입니다. 이 분포는 주어진 시간, 거리, 면적 등에서 임의 사건이 발생하는 횟수를 세야 하는 응용 사례에 적합합니다. 푸아송 분포가 사용되는 응용 사례로 초당 가이거 계수기 클릭 횟수, 시간당 매장에 들어오는 사람의 수, 1분에 네트워크에서 손실되는 패킷 수 등을 들 수 있습니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 푸아송 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

• 확률 분포를 표본 데이터에 피팅하거나 모수 값을 지정하여 확률 분포 객체 PoissonDistribution을 생성합니다. 그런 다음 객체 함수를 사용하여 분포를 실행하고, 난수를 생성하는 등의 작업을 수행합니다.

• 분포 피팅기 앱을 사용하여 대화형 방식으로 푸아송 분포를 사용합니다. 앱에서 객체를 내보내고 객체 함수를 사용할 수 있습니다.

• 지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(poisscdf, poisspdf, poissinv, poisstat, poissfit, poissrnd)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 푸아송 분포의 모수를 받을 수 있습니다.

• 일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('Poisson') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

푸아송 분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수	설명	지원
lambda (λ)	평균	$$\lambda \ge 0$$

또한 모수 λ는 푸아송 분포의 분산과 같습니다.

모수 λ₁과 λ₂를 포함한 두 개 푸아송 확률 변수의 합은 모수 λ = λ₁ + λ₂ 를 포함한 푸아송 확률 변수입니다.

확률 밀도 함수

푸아송 분포에 대한 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같습니다.

$$f(x|\lambda )=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda };x=0,1,2,\dots ,\infty .$$

그 결과는 임의 사건이 정확히 x회 발생할 확률입니다. 이산 분포의 경우, pdf는 확률 질량 함수(pmf)로도 알려져 있습니다.

예제는 푸아송 분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

푸아송 분포에 대한 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

$$p=F(x|\lambda )=e^{-\lambda }{\displaystyle \sum _{i=0}^{floor(x)}\frac{{\lambda }^i}{i!}}.$$

그 결과는 임의 사건이 최대 x회 발생할 확률입니다.

예제는 푸아송 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

예제

푸아송 분포 pdf 계산하기

모수 lambda = 4를 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산합니다.

x = 0:15;
y = poisspdf(x,4);

너비가 1인 막대로 pdf를 플로팅합니다.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

푸아송 분포 cdf 계산하기

모수 lambda = 4를 갖는 푸아송 분포의 cdf를 계산합니다.

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

cdf를 플로팅합니다.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

푸아송 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기

lambda가 크면 푸아송 분포는 평균 lambda와 분산 lambda를 갖는 정규분포로 근사할 수 있습니다.

모수 lambda = 50을 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산합니다.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1,lambda);

대응되는 정규분포의 pdf를 계산합니다.

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

동일한 축에 pdf를 플로팅합니다.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

정규분포의 pdf는 푸아송 분포의 pdf에 가깝습니다.

관련 분포

• 이항분포 — 이항분포는 성공 확률 p로 N회의 독립 시행에서 성공 횟수를 세는 2-모수 이산 분포입니다. 푸아송 분포는 Np = λ일 때 무한대에 가까운 N과 0에 가까운 p를 갖는 이항분포가 나타내는 극한 분포입니다. 이항분포 pdf와 푸아송 분포 pdf 비교하기 항목을 참조하십시오.

• 지수 분포 — 지수 분포는 모수 μ(평균)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. 푸아송 분포 모델은 주어진 시간에서 임의 사건이 발생하는 횟수를 셉니다. 이러한 모델에서 사건 발생 사이의 시간은 평균이 $$\frac{1}{\lambda }$$인 지수 분포로 모델링됩니다.

• 정규분포 — 정규분포는 모수 μ(평균)와 σ(표준편차)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. λ가 크면 푸아송 분포는 μ = λ 및 σ² = λ를 갖는 정규분포로 근사할 수 있습니다. 푸아송 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기 항목을 참조하십시오.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[4] Loader, Catherine. Fast and Accurate Computation of Binomial Probabilities. July 9, 2000.

참고 항목

PoissonDistribution | poisscdf | poisspdf | poissinv | poisstat | poissfit | poissrnd

관련 항목

• 확률 분포 사용하기
• Supported Distributions