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비선형 모델 선형화하기

선형화란?

선형화는 동작점 주변의 작은 영역에서 유효한 비선형 시스템의 선형 근사입니다.

예를 들어 비선형 함수 y=x2이 있다고 가정하겠습니다. 동작점 x = 1, y = 1에서 이 비선형 함수를 선형화하면 선형 함수 y=2x1이 됩니다.

동작점 근처에서 y=2x1y=x2의 적절한 근사입니다. 동작점에서 멀어질수록 적절하지 못한 근사가 됩니다.

아래 그림은 y=x2의 선형화에서 적절한 근사가 가능한 영역을 보여줍니다. 실제로 유효한 영역은 비선형 모델에 따라 다릅니다.

선형화 개념을 동적 시스템으로 확장하면 다음과 같은 형식으로 연속시간 비선형 미분 방정식을 작성할 수 있습니다.

x˙(t)=f(x(t),u(t),t)y(t)=g(x(t),u(t),t).

이 방정식에서 x(t)는 시스템 상태를 나타내고 u(t)는 시스템에 대한 입력을 나타내며 y(t)는 시스템의 출력을 나타냅니다.

이 시스템의 선형화된 모델은 동작점 t=t0, x(t0)=x0, u(t0)=u0, y(t0)=g(x0,u0,t0)=y0 주변의 작은 영역에서 유효합니다.

선형화된 모델을 나타내기 위해 동작점을 중심으로 새로운 변수를 정의합니다.

δx(t)=x(t)x0δu(t)=u(t)u0δy(t)=y(t)y0

δx, δu, δy에 대해 선형화된 모델은 이러한 변수의 값이 작을 때 유효합니다.

δx˙(t)=Aδx(t)+Bδu(t)δy(t)=Cδx(t)+Dδu(t)

선형화의 응용 분야

선형화는 모델 분석과 제어 설계 응용 분야에서 유용합니다.

지정된 비선형 Simulink® 모델의 엄밀한 선형화로 선형 상태공간 방정식, 전달 함수 방정식, 영점-극점-이득 방정식을 생성하여 다음에 사용할 수 있습니다.

  • Simulink 모델의 보드 응답을 플로팅합니다.

  • 개루프 응답을 계산하여 루프 안정성 여유를 계산합니다.

  • 근처 다른 동작점에서 플랜트 응답을 분석하고 비교합니다.

  • 선형 제어기를 설계합니다.

    고전 제어 시스템 분석 및 설계 방법론에는 선형 시불변 모델이 필요합니다. Simulink Control Design™은 보상기를 조정할 때 자동으로 플랜트를 선형화합니다. Choose a Control Design Approach 항목을 참조하십시오.

  • 폐루프 안전성을 분석합니다.

  • 제어 시스템에 대한 폐루프 선형 모델을 계산하여 주파수 응답의 공진 크기를 측정합니다.

  • 파라미터 변동과 모델링 오류에 대한 민감도가 낮은 제어기를 생성합니다.

Simulink Control Design에서의 선형화

Simulink Control Design을 사용하여 연속시간, 이산시간 또는 멀티레이트 Simulink 모델을 선형화할 수 있습니다. 그 결과로 생성된 선형 시불변 모델은 상태공간 형식입니다.

기본적으로 Simulink Control Design블록별 접근 방식을 사용하여 모델을 선형화합니다. 블록별 접근 방식은 Simulink 모델의 각 블록을 개별적으로 선형화하고 결과를 결합하여 지정된 시스템의 선형화를 생성합니다.

또한 루트 수준 입력값과 상태 값을 섭동하여 전체 모델의 선형화를 계산하는 수치 섭동을 전체 모델에 적용하여 시스템을 선형화할 수도 있습니다. 소프트웨어는 각 입력값과 상태 값에 대해서 모델을 약간 섭동하고 이러한 섭동에 대한 모델 응답을 기반으로 선형 모델을 계산합니다. 전향 차분 또는 중심 차분을 사용하여 모델을 섭동할 수 있습니다.

블록별 선형화 접근 방식은 전체 모델 수치 섭동에 몇 가지 이점을 제공합니다.

  • 대부분의 Simulink 블록에는 블록의 엄밀한 선형화를 제공하는 사전 프로그래밍된 선형화가 있습니다.

  • 선형 분석점을 사용하여 모델의 선형화할 부분을 지정할 수 있습니다.

  • 모델 시뮬레이션에 영향을 주지 않으면서 사용자 지정 선형화를 사용하도록 블록을 구성할 수 있습니다.

  • 구조적으로 최소가 아닌 상태는 자동으로 제거됩니다.

  • 불확실성을 포함하는 선형화를 지정할 수 있습니다(Robust Control Toolbox™ 필요).

  • 자세한 진단 정보를 얻을 수 있습니다.

  • 멀티레이트 모델을 선형화할 때 다른 레이트 변환 방법을 사용할 수 있습니다. 전체 모델 수치 섭동은 영차 유지 레이트 변환만 사용할 수 있습니다.

엄밀한 선형화를 위한 모델 요구 사항

엄밀한 선형화는 대부분의 Simulink 블록을 지원합니다.

그러나 강한 불연속성 또는 이벤트 기반 동적 요소를 가진 Simulink 블록은 0 또는 큰(무한) 이득으로 (정확하게) 선형화됩니다. 이벤트 기반 동작 또는 불연속 동작을 포함하는 모델은 Simulink Control Design의 특별한 처리가 필요합니다. 이러한 이벤트 기반 동작 또는 불연속 동작은 다음과 같은 블록에서 발생할 수 있습니다.

  • Discontinuities 라이브러리의 블록

  • Stateflow® 차트

  • Triggered Subsystem

  • 펄스 폭 변조(PWM) 신호

대부분의 응용 분야에서 Simulink 모델의 상태는 정상 상태여야 합니다. 그렇지 않으면 선형 모델이 짧은 시간 간격 동안만 유효합니다.

동작점이 선형화에 미치는 영향

선형화를 위해 올바른 동작점을 선택하는 것은 정확한 선형 모델을 얻는 데 중요합니다. 선형 모델은 비선형 모델을 근사한 것으로, 모델을 선형화한 동작점 근처에서만 유효합니다.

선형화할 Simulink 블록을 지정하더라도 모델의 모든 블록이 동작점에 영향을 줍니다.

비선형 모델은 다른 동작점에서 선형화하면 매우 상이한 두 가지 선형 근사를 가질 수 있습니다.

이 모델의 선형화 결과는 적분의 초기 조건 x0 = 0과 함께 다음 표에 나와 있습니다.

다음은 서로 다른 두 동작점에 대한 다른 선형화 결과를 요약한 표입니다.

동작점선형화 결과
초기 조건 = 5, 상태 x1 = 530/s
초기 조건 = 0, 상태 x1 = 00

다음 세 가지 유형의 동작점에서 Simulink 모델을 선형화할 수 있습니다.

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