스펙트럼 분석

배경 정보

스펙트럼 추정의 목적은 유한한 데이터 세트를 바탕으로, 신호에 포함된 전력이 주파수에 어떻게 분포되어 있는지 설명하는 것입니다. 파워 스펙트럼 추정은 광대역 잡음에 묻힌 신호 감지를 비롯한 다양한 응용 분야에 유용합니다.

정상 확률 과정 x(n)의 파워 스펙트럼 밀도(PSD)는 자기상관 시퀀스와 수학적으로 이산시간 푸리에 변환 관계에 있습니다. 정규화 주파수에 대해 이는 다음과 같이 표현됩니다.

$$P_{xx}(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }{R}_{xx}(m)e^{-j\omega m}}.$$

이를 관계식 ω = 2πf / f_s를 사용하여 물리적 주파수 f(예: 헤르츠 단위)의 함수로 나타낼 수 있습니다. 여기서 f_s는 샘플링 주파수입니다.

$$P_{xx}(f)=\frac{1}{f_s}{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }{R}_{xx}(m)e^{-j2\pi mf/f_s}}.$$

상호상관 시퀀스는 다음과 같이 이산시간 푸리에 역변환을 사용하여 PSD에서 도출할 수 있습니다.

$$R_{xx}(m)={\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{P}_{xx}(\omega )e^{j\omega m}d\omega }={\displaystyle \underset{-f_s/2}{\overset{f_s/2}{\int }}{P}_{xx}(f)e^{j2\pi mf/f_s}df}.$$

전체 나이퀴스트 구간에서 시퀀스 x(n)의 평균 파워는 다음과 같이 표현됩니다.

$$R_{xx}(0)={\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{P}_{xx}(\omega )d\omega ={\displaystyle \underset{-f_s/2}{\overset{f_s/2}{\int }}{P}_{xx}(f)df}}.$$

특정 주파수 대역 [ω₁, ω₂], 0 ≤ ω₁ ≤ ω₂ ≤ π에서 신호의 평균 파워는 다음과 같이 해당 대역에 대해 PSD를 적분하여 구할 수 있습니다.

$${\overline{P}}_{[{\omega }_1,{\omega }_2]}={\displaystyle {\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}{P}_{xx}}(\omega )d\omega ={\displaystyle {\int }_{-{\omega }_2}^{-{\omega }_1}{P}_{xx}}(\omega )d\omega .$$

위 수식을 통해 P_xx(ω)가 미소 주파수 대역에 존재하는 신호의 파워 성분임을 알 수 있습니다. 이를 파워 스펙트럼 밀도라고 부르는 이유가 바로 여기에 있습니다.

PSD의 단위는 주파수 단위당 파워(예: 와트)입니다. P_xx(ω)의 경우, 단위는 와트/라디안/샘플 또는 단순히 와트/라디안입니다. P_xx(f)의 경우에는 와트/헤르츠입니다. 주파수에 대해 PSD를 적분하면 와트 단위가 생성되는데, 이는 평균 전력에서 예상되는 결과입니다.

실수 값을 갖는 신호의 경우, PSD는 DC를 중심으로 대칭이기 때문에 P_xx(ω)(0 ≤ ω ≤ π임)는 PSD의 특성을 완벽하게 나타내기에 충분합니다. 그러나 전체 나이퀴스트 구간에 걸쳐 평균 전력을 구하려면 단측 PSD라는 개념을 사용해야 합니다.

단측 PSD는 다음과 같이 지정됩니다.

$$P_{\text{one-sided}}(\omega )=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & -\pi \le \omega <0,\hfill \\ 2P_{xx}(\omega ),\hfill & 0\le \omega \le \pi .\hfill \end{array}$$

주파수 대역 [ω₁,ω₂](0 ≤ ω₁ ≤ ω₂ ≤ π임)에 걸친 신호의 평균 파워는 단측 PSD를 다음과 같이 지정하여 계산할 수 있습니다.

$${\overline{P}}_{[{\omega }_1,{\omega }_2]}={\displaystyle {\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}{P}_{\text{one-sided}}}(\omega )d\omega .$$

스펙트럼 추정 방법

툴박스에서 사용 가능한 여러 스펙트럼 추정 방법은 다음과 같이 분류됩니다.

• 비모수적 방법

• 모수적 방법

• 부분공간 방법

비모수적 방법은 PSD를 신호 자체에서 바로 추정하는 방법입니다. 그중 가장 간단한 방법이 주기도입니다. Welch 방법 [8], 멀티테이퍼 방법(MTM) 같은 다른 비모수적 기법은 주기도의 분산을 줄여줍니다.

모수적 방법은 신호가 백색 잡음으로 구동되는 선형 시스템의 출력값인 것으로 가정하고 이 신호에서 PSD를 추정하는 방법입니다. Yule-Walker 자기회귀(AR) 방법과 Burg 방법을 예로 들 수 있습니다. 이러한 방법에서는 해당 신호를 가상으로 생성하는 선형 시스템의 파라미터(계수)를 먼저 추정하여 PSD를 추정합니다. 이러한 방법은 사용 가능한 신호의 데이터 길이가 비교적 짧은 경우 기본적인 비모수적 방법보다 대체로 더 나은 결과를 생성합니다. 또한 모수적 방법은 비모수적 방법보다 PSD에 대한 더 매끄러운 추정을 생성합니다. 하지만 모델 오지정으로 인한 오차가 발생할 수 있습니다.

부분공간 방법(고분해능 방법 또는 초고분해능 방법이라고도 함)은 자기상관 행렬에 대한 고유값 분석 또는 고유값 분해를 기반으로 하여 신호에 대한 주파수 성분 추정값을 생성합니다. 다중 신호 분류(MUSIC) 방법 또는 고유벡터(EV) 방법을 예로 들 수 있습니다. 이러한 방법은 선 스펙트럼, 즉 정현파 신호의 스펙트럼에 이상적이며, 잡음에 묻힌 정현파를 감지할 때 특히 신호 대 잡음비가 낮은 경우에 효과적입니다. 그러나 부분공간 방법은 정확한 PSD 추정값을 생성하지 못합니다. 이러한 방법은 시간 영역과 주파수 영역 사이에서 랜덤 과정의 전력을 보존하지 못하고, 주파수 추정값에 대해 푸리에 역변환을 구하는 방식으로는 자기상관 시퀀스를 복원하지 못하기 때문입니다.

이 세 가지 범주의 방법이 모두 해당 툴박스 함수 이름과 함께 아래 표에 나열되어 있습니다. 각 함수에 대한 자세한 내용은 해당하는 함수 도움말 페이지에 나와 있습니다. lpc 및 다른 모수적 추정 함수에 대한 자세한 내용은 Parametric Modeling 항목을 참조하십시오.

스펙트럼 추정 방법/함수

방법	설명	함수
주기도	파워 스펙트럼 밀도 추정값	periodogram
Welch	윈도우가 적용된 중첩 신호 섹션의 평균화된 주기도	pwelch, cpsd, tfestimate, mscohere
멀티테이퍼	여러 직교 윈도우(즉, “테이퍼”) 조합의 스펙트럼 추정값	pmtm
Yule-Walker AR	시계열의 추정된 자기상관 함수에서 얻는 해당 시계열의 자기회귀(AR) 스펙트럼 추정값	pyulear
Burg	선형 예측 오차를 최소화하여 시계열의 자기회귀(AR) 스펙트럼 추정	pburg
공분산	순방향 예측 오차를 최소화하여 시계열의 자기회귀(AR) 스펙트럼 추정	pcov
수정 공분산	순방향과 역방향 예측 오차를 최소화하여 시계열의 자기회귀(AR) 스펙트럼 추정	pmcov
MUSIC	다중 신호 분류	pmusic
고유벡터	의사스펙트럼 추정값	peig