trapz

사다리꼴 수치 적분

구문

Q = trapz(Y)

Q = trapz(X,Y)

Q = trapz(___,dim)

설명

Q = trapz(Y)는 사다리꼴법을 단위 간격(간격: 1)과 함께 사용하여 Y의 적분 근삿값을 계산합니다. Y의 크기에 따라 함께 적분할 차원이 결정됩니다.

• Y가 벡터인 경우 trapz(Y)는 Y의 적분 근삿값입니다

• Y가 행렬인 경우 trapz(Y)는 각 열에 대해 적분을 계산하고 적분 값으로 구성된 행 벡터를 반환합니다.

• Y가 다차원 배열인 경우 trapz(Y)는 크기가 1이 아닌 첫 번째 차원에 대해 적분을 계산합니다. 이 차원의 크기는 1이 되며 다른 차원의 크기는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

Q = trapz(X,Y)는 X로 지정된 좌표 또는 스칼라 간격을 기준으로 Y를 적분합니다.

• X가 좌표의 벡터인 경우 length(X)는 크기가 1이 아닌 Y의 첫 번째 차원의 크기와 동일해야 합니다.

• X가 스칼라 간격인 경우 trapz(X,Y)는 X*trapz(Y)와 동일합니다.

Q = trapz(___,dim)은 위에 열거된 구문에서 차원 dim을 따라 적분합니다. Y는 반드시 지정해야 하며, X를 선택적으로 지정할 수 있습니다. X를 지정할 경우, 이는 스칼라이거나 길이가 size(Y,dim)과 같은 벡터일 수 있습니다. 예를 들어, Y가 행렬인 경우 trapz(X,Y,2)는 Y의 각 행을 적분합니다.

예제

단위 간격(간격: 1)으로 데이터 벡터 적분하기

데이터 점 사이의 간격이 1인 벡터의 적분을 계산합니다.

데이터로 구성된 숫자형 벡터를 생성합니다.

Y = [1 4 9 16 25];

Y에는 정의역 [1, 5]에 대한 $$f(x)=x^2$$의 함수 값이 들어 있습니다.

trapz를 사용하여 단위 간격(간격: 1)으로 데이터를 적분합니다.

Q = trapz(Y)

Q = 42

이 적분 근삿값은 값 42를 생성합니다. 이 경우 정확한 답은 약간 작은 $$41\frac{1}{3}$$입니다. f(x)가 위로 오목하기 때문에 trapz 함수는 적분값을 과대 추정합니다.

비단위 간격(간격: 1 아님)으로 데이터 벡터 적분하기

데이터 점 사이의 간격이 균일하지만 1이 아닌 벡터의 적분을 계산합니다.

정의역 벡터를 만듭니다.

X = 0:pi/100:pi;

X의 사인을 계산합니다.

Y = sin(X);

trapz를 사용하여 Y를 적분합니다.

Q = trapz(X,Y)

Q = 1.9998

점 사이의 간격이 일정하지만 1이 아닌 경우, X에 대한 벡터를 만드는 다른 방법은 스칼라 간격 값을 지정하는 것입니다. 이 경우, trapz(pi/100,Y)는 pi/100*trapz(Y)와 같습니다.

비균일 간격으로 행렬 적분하기

데이터에 비균일 간격이 있는 행렬의 행을 적분합니다.

x 좌표의 벡터와 불규칙한 간격으로 발생하는 관측값으로 구성된 행렬을 만듭니다. Y의 행은 서로 다른 세 번의 실험에서 X에 포함된 시각에 측정한 속도 데이터를 나타냅니다.

X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2   7.7   9.6   13.2;
     4.8   7.0  10.5   14.5;
     4.9   6.5  10.2   13.8];

trapz를 사용하여 각 행을 개별적으로 적분하고, 각 실험에서의 총 거리를 구합니다. 데이터가 균일한 간격으로 계산되지 않았으므로 데이터 점 사이의 간격을 나타내도록 X를 지정합니다. 데이터가 Y의 행에 있으므로 dim = 2를 지정합니다.

Q1 = trapz(X,Y,2)

Q1 = 3×1

   82.8000
   85.7250
   82.1250

결과는 적분값으로 구성된 열 벡터로, Y의 행마다 하나씩 생성됩니다.

다중 수치 적분

정의역 값으로 구성된 그리드를 만듭니다.

x = -3:.1:3; 
y = -5:.1:5; 
[X,Y] = meshgrid(x,y);

그리드에서 함수 $$f(x,y)=x^2+y^2$$을 계산합니다.

F = X.^2 + Y.^2;

trapz는 함수 표현식이 아니라 숫자형 데이터를 적분하므로, 일반적으로 표현식의 경우에는 데이터 행렬에서 trapz를 사용할지 여부가 중요하지 않습니다. 함수 표현식을 알고 있는 경우 integral, integral2 또는 integral3을 대신 사용할 수 있습니다.

trapz를 사용하여 이중 적분의 근삿값을 계산합니다.

$$I={\int }_{-5}^5{\int }_{-3}^3(x^2+y^2)dxdy$$

숫자형 데이터로 구성된 배열에서 이중 적분이나 삼중 적분을 수행하려면 trapz에 대한 함수 호출을 중첩하십시오.

I = trapz(y,trapz(x,F,2))

I = 680.2000

trapz는 먼저 x에 대해 적분을 수행하여 열 벡터를 생성합니다. 그런 다음, y에 대한 적분으로 열 벡터를 단일 스칼라로 축소시킵니다. f(x,y)가 위로 오목하므로 trapz는 정확한 값 680을 약간 과대 추정합니다.

입력 인수

Y — 숫자형 데이터

벡터 | 행렬 | 다차원 배열

숫자형 데이터로, 벡터, 행렬, 다차원 배열 중 하나로 지정됩니다. 기본적으로 trapz는 크기가 1이 아닌 Y의 첫 번째 차원을 따라 적분을 계산합니다.

데이터형: single | double
복소수 지원 여부: 예

X — 점 간격

1 (디폴트 값) | 균일 스칼라 간격 | 좌표의 벡터

점 간격으로, 1(디폴트 값), 균일 스칼라 간격 또는 좌표의 벡터로 지정됩니다.

• X가 스칼라이면 이는 데이터 점 사이에 균일한 간격을 지정하며 trapz(X,Y)는 X*trapz(Y)와 같습니다.

• X가 벡터이면 이는 데이터 점에 대한 x 좌표를 지정하며 length(X)는 Y의 적분 차원의 크기와 같아야 합니다.

데이터형: single | double

dim — 연산을 수행할 차원

양의 정수 스칼라

연산을 수행할 차원으로, 양의 정수 스칼라로 지정됩니다. 차원을 지정하지 않을 경우 디폴트 값은 크기가 1보다 큰 첫 번째 배열 차원이 됩니다.

2차원 입력 배열 Y가 있다고 가정하겠습니다.

• trapz(Y,1)은 Y의 열에 있는 연속된 요소에 대해 동작을 수행하고 행 벡터를 반환합니다.

  

• trapz(Y,2)는 Y의 행에 있는 연속된 요소에 대해 동작을 수행하고 열 벡터를 반환합니다.

  

dim이 ndims(Y)보다 큰 경우 trapz는 Y와 크기가 같은, 0으로 구성된 배열을 반환합니다.

세부 정보

사다리꼴법(Trapezoidal Method)

trapz는 사다리꼴법을 사용하여 수치 적분을 수행합니다. 사다리꼴법은 해당 영역을, 더욱 쉽게 계산할 수 있는 영역을 가지는 사다리꼴로 분할하여 구간 적분에 대한 근삿값을 계산합니다. 예를 들어, 다음과 같이 균일한 간격의 사다리꼴 8개를 사용하여 사인 함수의 사다리꼴 적분을 수행한 경우를 살펴보겠습니다.

균일한 간격의 N+1개 점을 사용하는 적분의 경우 근삿값은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx }\frac{b-a}{2N}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right)}\\ =\frac{b-a}{2N}\left[f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+\mathrm{...}+2f\left(x_N\right)+f\left(x_{N+1}\right)\right],\end{array}$$

여기서 각 점 사이의 간격은 스칼라 값 $$\frac{b-a}{N}$$와 같습니다. 기본적으로 MATLAB^®은 간격으로 1을 사용합니다.

N+1개 점 사이의 간격이 균일하지 않은 경우 식은 다음과 같이 일반화됩니다.

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(x_{n+1}-x_n\right)}}\left[f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right],$$

여기서 $$a=x_1<x_2<\mathrm{...}<x_N<x_{N+1}=b$$이고, $$\left(x_{n+1}-x_n\right)$$은 각 연속점 쌍 간의 간격입니다.

팁

• 이산 데이터 세트에 대한 수치 적분을 구할 때는 trapz와 cumtrapz를 사용해야 합니다. 데이터에 대한 함수 표현식이 존재한다면 integral, integral2 또는 integral3을 대신 사용하십시오.

• trapz는 연산을 수행하는 차원의 크기를 1로 축소하고 최종 적분값만 반환합니다. cumtrapz는 연산을 수행하는 차원의 크기를 유지하면서 중간 누적 적분값을 반환합니다.

확장 기능

C/C++ 코드 생성

MATLAB® Coder™를 사용하여 C 코드나 C++ 코드를 생성할 수 있습니다.

사용법 관련 참고 및 제한 사항:

• dim을 제공할 경우 그 값은 상수여야 합니다.

• Variable-Sizing Restrictions for Code Generation of Toolbox Functions (MATLAB Coder) 항목을 참조하십시오.

스레드 기반 환경

MATLAB®의 backgroundPool을 사용해 백그라운드에서 코드를 실행하거나 Parallel Computing Toolbox™의 ThreadPool을 사용해 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 스레드 기반 환경을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 스레드 기반 환경에서 MATLAB 함수 실행하기 항목을 참조하십시오.

GPU 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용해 GPU(그래픽스 처리 장치)에서 실행하여 코드 실행 속도를 높일 수 있습니다.

이 함수는 GPU 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 GPU에서 MATLAB 함수 실행하기 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

분산 배열

Parallel Computing Toolbox™를 사용하여 대규모 배열을 클러스터의 결합된 메모리에 걸쳐 분할할 수 있습니다.

이 함수는 분산 배열을 완전히 지원합니다. 자세한 내용은 분산 배열을 사용하여 MATLAB 함수 실행 (Parallel Computing Toolbox) 항목을 참조하십시오.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

cumsum | cumtrapz | integral | integral2 | integral3

도움말 항목

• 수치 데이터에 대한 적분