복소 선적분
이 예제에서는 integral
함수의 'Waypoints'
옵션을 사용하여 복소 선적분을 계산하는 방법을 보여줍니다. MATLAB®에서는 'Waypoints'
옵션을 사용하여 첫 번째 적분 한계에서 첫 번째 중간점으로, 첫 번째 중간점에서 두 번째 중간점 등으로 연결되고 최종적으로 마지막 중간점에서 적분의 두 번째 한계로 연결되는 일련의 직선 경로를 정의할 수 있습니다.
익명 함수를 사용하여 피적분 함수 정의하기
다음을 적분합니다.
여기서 는 원점에서 의 단순 극점을 둘러싸는 닫힌 경로입니다.
익명 함수를 사용하여 피적분 함수를 정의합니다.
fun = @(z) exp(z)./z;
중간점을 사용하지 않고 적분하기
파라미터화를 통해 복소수 값 함수의 경로 적분을 계산할 수 있습니다. 일반적으로, 경로를 지정한 후 이를 미분하여 원래 피적분 함수를 파라미터화하는 데 사용합니다. 이 경우에는 경로를 단위원으로 지정합니다. 하지만, 어떤 경우든 결과는 선택한 경로의 영향을 받지 않습니다.
g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta); gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta); q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)
q1 = -0.0000 + 6.2832i
이 파라미터화 방법은 안정적이기는 하나 적분을 수행하기 전에 도함수를 계산해야 하므로 어렵고 시간이 오래 걸릴 수 있습니다. 단순 함수의 경우에도, 올바른 결과를 얻으려면 여러 줄의 코드를 작성해야 합니다. 결과는 극점(이 경우 원점)을 둘러싸는 모든 닫힌 경로에서 동일하므로, integral
의 'Waypoints'
옵션을 대신 사용하여 극점을 둘러싸는 정사각형 경로 또는 삼각형 경로를 생성할 수 있습니다.
극점을 둘러싸지 않는 경로를 따라 적분하기
적분 한계나 중간점 벡터의 요소가 복소수인 경우 integral
은 복소 평면에서 일련의 직선 경로에 대해 적분을 수행합니다. 경로의 기본 방향은 반시계 방향이고, 시계 방향의 경로를 지정하는 것은 -1
을 곱하는 것과 같습니다. 한 개의 함수 특이점을 둘러싸도록 경로를 지정합니다. 극점을 둘러싸지 않는 경로를 지정하면, 폐루프 적분의 값은 코시(Cauchy)의 적분 정리에 의해 반드시 0이 됩니다.
이를 확인하기 위해 원점을 벗어나 있는 정사각형 경로를 따라 fun
을 적분해 보십시오. 동일한 적분 한계를 사용하여 닫힌 경로를 생성합니다.
C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)
q = -3.6082e-16 + 6.6613e-16i
결과는 eps
에 가까우며, 사실상 0입니다.
내부에 극점이 있는 경로를 따라 적분하기
원점에 있는 극점을 완전히 둘러싸는 정사각형 경로를 지정한 다음 적분합니다.
C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)
q2 = 0.0000 + 6.2832i
이 결과는 위에서 계산한 q1
과 일치하지만, 더 단순한 코드를 사용합니다.
이 문제의 완전한 답은 입니다.
2*pi*i
ans = 0.0000 + 6.2832i