lqg

선형-2차-가우스(LQG) 설계

구문

reg = lqg(sys,QXU,QWV)
reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI)
reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof')
reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof')
reg = lqg(___,'current')
[reg,info] = lqg(___)


설명

reg = lqg(sys,QXU,QWV)는 플랜트의 상태공간 모델 sys와 가중 행렬 QXU 및 QWV가 주어진 경우, 최적의 선형-2차-가우스(LQG) 조절기 reg를 계산합니다. 동적 조절기 reg는 측정값 y를 사용하여 0 값 부근에서 y를 조절하는 제어 신호 u를 생성합니다. 양의 피드백을 사용하여 이 조절기를 플랜트 출력 y에 연결합니다.

LQG 조절기는 다음 비용 함수를 최소화합니다.

$$J=E\left\{\underset{\tau \to \infty }{\lim }\frac{1}{\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left[x^T,u^T\right]Q_{xu}\left[\begin{array}{c}x\\ u\end{array}\right]dt}\right\}$$

여기에는 다음 플랜트 방정식이 적용됩니다.

$$\begin{array}{c}dx/dt=Ax+Bu+w\\ y=Cx+Du+v\end{array}$$

여기서 공정 잡음 w와 측정 잡음 v는 다음과 같은 공분산을 갖는 가우스 백색 잡음입니다.

$$E\left(\left[\begin{array}{c}w\\ v\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}w\text{'}& v\text{'}\end{array}\right]\right)=QWV$$

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI)는 설정점 명령 r과 측정값 y를 사용하여 제어 신호 u를 생성합니다. reg는 y가 명령 r을 추종하도록 하는 적분 동작을 갖습니다.

LQG 서보 제어기는 다음 비용 함수를 최소화합니다.

$$J=E\left\{\underset{\tau \to \infty }{\lim }\frac{1}{\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left(\left[x^T,u^T\right]Q_{xu}\left[\begin{array}{c}x\\ u\end{array}\right]+x_i^T{Q}_i{x}_i\right)}dt\right\}$$

여기서 x_i는 추종 오차 r - y의 적분입니다. MIMO 시스템의 경우 r, y, x_i는 길이가 같아야 합니다.

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof')는 입력으로 [r ; y]가 아니라 e = r - y를 받는 1자유도 서보 제어기를 계산합니다.

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof')는 LQG(sys,QXU,QWV,QI)와 동일하며, 위에서 표시된 2자유도 서보 제어기를 생성합니다.

reg = lqg(___,'current')는 이산시간 시스템에 대해 LQG 조절기를 계산할 때 x[n|n]을 상태 추정값으로 사용하는 "현재" 칼만 추정기를 사용합니다.

[reg,info] = lqg(___)는 위에 열거된 모든 구문에서 제어기 이득 행렬과 추정기 이득 행렬을 구조체 info로 반환합니다. 예를 들어, 제어기 이득과 추정기 이득을 사용하여 제어기를 관측기 형식으로 구현할 수 있습니다. 자세한 내용은 알고리즘 항목을 참조하십시오.

예제

선형-2차-가우스(LQG) 조절기와 서보 제어기 설계

이 예제에서는 다음의 시스템에 대해 선형-2차-가우스(LQG) 조절기, 1자유도 LQG 서보 제어기, 2자유도 LQG 서보 제어기를 설계하는 방법을 보여줍니다.

플랜트에는 3개의 상태(x), 2개의 제어 입력(u), 3개의 임의의 입력(w), 1개의 출력(y), 출력에 대한 측정 잡음(v), 그리고 다음과 같은 상태 및 측정 방정식이 있습니다.

$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=Ax+Bu+w\\ y=Cx+Du+v\end{array}$$

여기서는 다음이 성립됩니다.

$$\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}0.3& 1\\ 0& 1\\ -0.3& 0.9\end{array}\right]\\ \\ C=\left[\begin{array}{ccc}1.9& 1.3& 1\end{array}\right]D=\left[\begin{array}{cc}0.53& -0.61\end{array}\right]\end{array}$$

시스템에는 다음과 같은 잡음 공분산 데이터가 있습니다.

$$\begin{array}{l}{Q}_n=E\left(w{w}^T\right)=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ R_n=E\left(v{v}^T\right)=0.7\end{array}$$

조절기의 경우 다음 비용 함수를 사용하여 조절 성능과 제어 노력 사이의 상호 절충을 정의합니다.

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(0.1x^{T}x+u^T\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]u\right)dt}$$

서보 제어기의 경우 다음 비용 함수를 사용하여 추종기 성능과 제어 노력 사이의 상호 절충을 정의합니다.

$$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(0.1x^{T}x+x_i^2+u^T\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]u\right)dt}$$

이 시스템에 대한 LQG 제어기를 설계하려면 다음을 수행하십시오.

1. MATLAB 명령 창에 다음을 입력하여 상태공간 시스템을 만듭니다.

   A = [0 1 0;0 0 1;1 0 0];    
   B = [0.3 1;0 1;-0.3 0.9];
   C = [1.9 1.3 1];  
   D = [0.53 -0.61];
   sys = ss(A,B,C,D);

2. 다음 명령을 입력하여 잡음 공분산 데이터 및 가중 행렬을 정의합니다.

   nx = 3;    %Number of states
   ny = 1;    %Number of outputs
   Qn = [4 2 0; 2 1 0; 0 0 1];
   Rn = 0.7;
   R = [1 0;0 2]
   QXU = blkdiag(0.1*eye(nx),R);
   QWV = blkdiag(Qn,Rn);
   QI = eye(ny);

3. 다음 명령을 입력하여 LQG 조절기를 형성합니다.

   KLQG = lqg(sys,QXU,QWV)

   이 명령은 다음 LQG 조절기를 반환합니다.

   A = 
              x1_e    x2_e    x3_e
      x1_e  -6.212  -3.814  -4.136
      x2_e  -4.038  -3.196  -1.791
      x3_e  -1.418  -1.973  -1.766
    
   B = 
                y1
      x1_e   2.365
      x2_e   1.432
      x3_e  0.7684
    
   C = 
               x1_e       x2_e       x3_e
      u1   -0.02904  0.0008272     0.0303
      u2    -0.7147    -0.7115    -0.7132
    
   D = 
          y1
      u1   0
      u2   0
    
   Input groups:              
          Name        Channels
       Measurement       1    
                              
   Output groups:             
         Name      Channels   
       Controls      1,2      
                              
   Continuous-time model.

4. 다음 명령을 입력하여 1자유도 LQG 서보 제어기를 생성합니다.

   KLQG1 = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof')

   이 명령은 다음 LQG 서보 제어기를 반환합니다.

   A = 
              x1_e    x2_e    x3_e     xi1
      x1_e  -7.626  -5.068  -4.891  0.9018
      x2_e  -5.108  -4.146  -2.362  0.6762
      x3_e  -2.121  -2.604  -2.141  0.4088
      xi1        0       0       0       0
    
   B = 
                 e1
      x1_e   -2.365
      x2_e   -1.432
      x3_e  -0.7684
      xi1         1
    
   C = 
             x1_e     x2_e     x3_e      xi1
      u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
      u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
    
   D = 
          e1
      u1   0
      u2   0
    
   Input groups:           
       Name     Channels   
       Error       1       
                           
   Output groups:          
         Name      Channels
       Controls      1,2   
                           
   Continuous-time model.

5. 다음 명령을 입력하여 2자유도 LQG 서보 제어기를 생성합니다.

   KLQG2 = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof')

   이 명령은 다음 LQG 서보 제어기를 반환합니다.

   A = 
              x1_e    x2_e    x3_e     xi1
      x1_e  -7.626  -5.068  -4.891  0.9018
      x2_e  -5.108  -4.146  -2.362  0.6762
      x3_e  -2.121  -2.604  -2.141  0.4088
      xi1        0       0       0       0
    
   B = 
                r1      y1
      x1_e       0   2.365
      x2_e       0   1.432
      x3_e       0  0.7684
      xi1        1      -1
    
   C = 
             x1_e     x2_e     x3_e      xi1
      u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
      u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
    
   D = 
          r1  y1
      u1   0   0
      u2   0   0
    
   Input groups:              
          Name        Channels
        Setpoint         1    
       Measurement       2    
                              
   Output groups:             
         Name      Channels   
       Controls      1,2      
                              
   Continuous-time model.

팁

• lqg는 연속시간 플랜트와 이산시간 플랜트 모두에 사용할 수 있습니다. 이산시간의 경우, lqg는 기본적으로 x[n|n-1]을 상태 추정값으로 사용합니다. x[n|n]을 상태 추정값으로 사용하고 최적의 LQG 제어기를 계산하려면 'current' 입력 인수를 사용하십시오. 상태 추정기에 대한 자세한 내용은 kalman을 참조하십시오.

• LQG 조절기를 계산하기 위해 lqg는 lqr 및 kalman 명령을 사용합니다. 서보 제어기를 계산하기 위해 lqg는 lqi 및 kalman 명령을 사용합니다.

• 조절기를 더 유연하게 설계하려는 경우 lqr, kalman 및 lqgreg 명령을 사용할 수 있습니다. 서보 제어기를 더 유연하게 설계하려는 경우에는 lqi, kalman 및 lqgtrack 명령을 사용할 수 있습니다. 이러한 명령을 사용하는 방법과 언제 사용하는지에 대한 자세한 내용은 조절을 위한 선형-2차-가우스(LQG) 설계 항목과 적분 동작을 갖는 서보 제어기의 선형-2차-가우스(LQG) 설계 항목을 참조하십시오.

알고리즘

제어기 방정식은 다음과 같습니다.

• 연속시간의 경우:

  $$\begin{array}{c}d{x}_e=A{x}_e+Bu+L\left(y-C{x}_e-Du\right)\\ u=-K_x{x}_e-K_i{x}_i\end{array}$$

• 이산시간의 경우:

  $$x\left[n+1|n\right]=Ax\left[n|n-1\right]+Bu\left[n\right]+L\left(y\left[n\right]-Cx\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]\right)$$

  • 지연 추정기:

    $$u\left[n\right]=-K_{x}x\left[n|n-1\right]-K_i{x}_i\left[n\right]$$

  • 현재 추정기:

    $$\begin{array}{c}u\left[n\right]=-K_{x}x\left[n|n\right]-K_i{x}_i\left[n\right]-K_{w}w\left[n|n\right]\\ =-K_{x}x\left[n|n-1\right]-K_i{x}_i\left[n\right]-\left(K_x{M}_x+K_w{M}_w\right)y_{inn}\left[n\right]\end{array}$$

    $$y_{inn}\left[n\right]=y\left[n\right]-Cx\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]$$

여기서 각각은 다음을 나타냅니다.

• A, B, C, D는 LQG 조절기 reg의 상태공간 행렬입니다.

• x_i는 추종 오차 r - y의 적분입니다.

• K_x, K_w, K_i, L, M_x, M_w는 info로 반환되는 제어기 이득 행렬과 추정기 이득 행렬입니다.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

lqr | lqi | kalman | lqry | ss | care | dare